サイコロステーキについての一考察


　話を単純にするために、まずサイコロステーキをひとつだけ焼くことにしよう。

　まず、サイコロステーキを熱したフライパンに乗せる。すると、その時に下になっ た面は火が通るが、残りの５面は赤いままになる。
　そこで、フライパンの柄をしっかりもって「うりゃ」とやると、サイコロステーキは空中で回転して、またフライパンの上に戻る（ここで料理人は腕がいいと仮定する）。もちろん、その時に、最初に焼いた面とは別の面が下になってくれればいいのであるが、運悪く同じ面が下になるかもしれず、その場合は、もう一度「とりゃ」とやらなければならない。

　６回焼くときの「場合の数」の総数は、当然ながら６の６乗になる。そのうち、全部の面に火が通る「場合の数」は、６！＝６×５×４×３×２×１になる。計算してみると、なんとたったの 1.5% しか焼きあがらない。
　これではさすがに困る。

　では、一発よけいに「おりゃ」としてもいいとして、７回以下で焼きあがるのは、いったい何パーセントぐらいになるだろうか。また、８回、９回、一般にｎ回となると、何パーセントとなるんだろうか。
　この計算、簡単なように見えて、じつはけっこう一筋縄ではいかない。

  1. ６回焼いた場合をもとに拡張する。

    　７回で焼きあがる場合は、６回で焼きあがる場合に加えて、どこかに一回、無駄な焼 きが入ったとき、と考えるわけだ。

    　しかし、無駄な焼きというのは、あくまでその面が焼かれた「後」に入らなければいけない。６回焼いた場合に１回加えるのは簡単だが、それにさらに加えようとすると計算がとんでもなく大変になり、事実上計算できない。

  2. 順序はあとで考えることにして、組合せを考える。

    　とりあえず、順序がどうでもいいとすると、６つの面をそれぞれ１回以上ずつ焼いて いるということになる。たとえば８回焼いているとすると、６回はそれぞれの面を 焼くということで固定されていて、２回は６面のどこでもいいわけだから、組合せの数は６の２乗となる。
    　問題は、組合せを順序に直すときにある。最後の２面を、どこでもいいといって処理してしまったが、順序の数を計算するには、２面が同じ面の場合と違う面の場合で場合分けしなければならない。２つならなんとかなるが、３つ、４つとなってくると、これも計算が爆発する。

  3. 「焼きあがらない場合」を考える。

    　ある特定の面が焼きあがらない場合の数というのは簡単に求まる。ほかの５つの 面が焼かれている場合なので、５のｎ乗となる。面は６つあるので、これを６倍し て、場合の総数（６のｎ乗）からひけばいいわけだ。
    　というのは、実は間違っている。なぜなら、焼かれていない面が２つある場合を二重にカウントしているからである。ある特定の２面が焼きあがらない可能性は４のｎ乗で、面の組み合わせは１５通りあるので、６×５＾ｎ−１５×４＾ｎを考えなければならない。

    　しかし、焼かれていない面が３つある場合が……どのぐらい重複してカウントされて いるんだ？　筆者はわけがわからなくなってしまった。
　なんだかサイコロステーキという気分になってきたでしょう？

　ただ、こういうようなことを心配しながらサイコロステーキを焼いていると、つい焼 きすぎてしまうので、注意するように。

気になって夜も眠れない