サイコロステーキについての一考察 Part 3


　式を変形してやると、答えが見えてくる。
　ここで、B(n)=P2(n)+5 と定めよう。さっきの式をもう一度書くと
  P2(n+1) = 2*P2(n) + 5
　これをB(n)で書き直してみると
  B(n+1) = 2*B(n)
　しかも、B(1)=P2(1)+5=5 だ。これなら解けるのではないだろうか？

　B(n)は、初項が5、公比が2の等比数列なので、公式通り
            n-1
  B(n) = 5*2
　でもって、P2(n)=B(n)-5 なので(5を移項しただけ)
             n-1
  P2(n) = 5*2    - 5
　これでようやく P2 が求まった。


　とはいえまだ３分の１しか解けていない。しかも、次の P3 は輪をかけてやっかいである。
　3面だけが焼けている場合を、さっきと同じように書くと、
　　1. 一回前に3面が焼けており、次に既に焼いた面を焼いてしまった場合
　　2. 一回前に2面だけしか焼けておらず、次に焼けていない面が焼けた場合
　これを式にすると
  P3(n+1) = 3*P3(n) + 4*P2(n)
　P2 はすでに求まっているので代入すると
                          n-1
  P3(n+1) = 3*P3(n) + 20*2    - 20
　さあやっかいだ（笑）。
　これも、うまく式を変形しないと解けないのだが……。


さすがにこれは難しいか（とはいえ理系の高校生なら解けてしかるべき）