サイコロステーキについての一考察 Part 4


　これは知らないと思いつけないかもしれない。
          P3(n)
  C(n) = ―――
            n
           3
　と置くのだ。
　P3(n)=〜〜の形に直すと
           n
  P3(n) = 3 C(n)
　これを、さっきの式に代入するわけである。
　さっきの式をもう一度書いておくと
                          n-1
  P3(n+1) = 3*P3(n) + 20*2    - 20
　代入してみると
   n+1          n+1           n-1
  3   C(n+1) = 3   C(n) + 20*2    - 20
　両辺を、3^(n+1) で割る。 
                      n-1
                  20*2   -20
  C(n+1) = C(n) + ―――――
                       n+1
                      3

                       2  n+1         1  n+1
         = C(n) + 5*(――)    - 20*(――)
                       3              3
　これが数列の和で求まるというのは、見て分かるだろう。階差数列の考え方を使うわけだ。

　初項 C(1) = P3(1)/3 ですが、P3(1)=0 なので、C(1)=0 です。
　ということは、
         n-1       2  k+1         1  k+1
  C(n) = Σ { 5*(――)    - 20*(――)   }
         k=1       3              3
　要は等比数列の和なので公式に入れて
                        n-1                 n-1
          20     1-(2/3)      20     1-(1/3)
  C(n) = ―― * ――――― - ―― * ―――――
           9      1-2/3        9      1-1/3
　整理すると
                  1       1  n      2  n
       = 10 * { ―― + (――)  - (――)  }
                  3       3         3
　これでやっとC(n)が求まったので、P3(n)を計算することができる。
           n
  P3(n) = 3 C(n)

                n-1     n-1
        = 10*( 3   - 2*2   + 1 )
　…とまあ、苦労したわりには簡単な式になった。


もう計算はどうでもいいから結果を教えろ〜